Про оцінки точності моделювання звуження броунівського листа на частину кола в просторі Hsp
Loading...
Date
2020
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
ДВНЗ «Київський національний університет імені Вадима Гетьмана»
Abstract
У роботі узагальнено результати, отримані у роботах
Параньяпа, Парка, Клесова, Круглової, Диховичного (Paranjape, Park, Klesov,
Kruglova, Dykhovychnyi). Зокрема, знайдено найбільш точну апроксимацію
розподілу максимуму звуження (restriction) поля Ченцова (Chentsov field,
Brownian sheеt в англомовній літературі) на частину кола. Потреба у
розгляді подібних задач пов’язана із дослідженням таких фізичних явищ, як
перколяція(percolation) (протікання) та фільтрація (filtration). Оскільки
знаходження точного розподілу вказаного максимуму є проблематичним,
авторами запропоновно розвязання цієї задачі шляхом чисельного
моделювання (simulation) відповідного випадкового процесу. Для цього у
статті розроблено новий алгоритм моделювання гауссівського процесу
Y(t) з нульовим математичним сподіванням і коваріаційною функцією спеціального виду: [ ( ) ( E Y s Y t)] u(min{s,t})v(max{s,t}), s,t [0,1]. Цей алгоритм
має високу швидкодію(high speed), потрібність у якій зумовлена великою
кількістю точок розбиття траекторії процесу. Доведено, що усі моменти, а, отже, й скінченновимірні (finite-dimensional)розподіли змодельованого процесу збігаються до відповідних характеристик процесу Y(t). Запропоновано новий спосіб параметризації звуження поля Ченцова на
чверть кола. На підставі цього способу параметризації процесу Y(t) новий
алгоритм моделювання застосовано для моделювання звуження поля Ченцова на частину кола. Знайдено асимптотику похибки моделювання у
просторі HSP. Доведено, що норма похибки у просторі HSP спадає як
O1 N, де N — кількість точок моделювання. Для перевірки якості алгоритму проведено порівняння емпіричних оцінок основних статистичних
характеристик змодельованого й теоретичного процесів, та підтверджено їхній збіг. Для змодельованого процесу знайдено емпіричний розподіл максимуму процесу, для якого підібрано найближчий теоретичний розподіл. Як найприйнятніший розподіл обрано розподіл Вейбулла (Weibull),
що підтверджено критерієм Колмогорова, а також Q-Q та P-P діаграмами. Моделювання виконано в середовищі програмування R.
In this paper, we generalize the results obtained by Paranjape, Park,
Klesov, Kruglova, Dykhovychnyi. In particular, we find the most precise approximation
of the distribution of the maximum of Chenstov field (Brownian sheet) restricted
to a part of a circle. The need for such an approximation comes from modeling
physical phenomena like percolation and filtration. Since finding the exact distribution
is problematic, we propose a numerical solution to the problem by performing
a simulation of the corresponding stochastic process. For this purpose, we develop
a novel algorithm to model a Gaussian process Y (t) with zero mean and the special
covariance function E[Y (s)Y (t)] u(min{s, t})v(max{s, t}), s, t [0,1]. The proposed
algorithm has high computational efficiency, which is crucial when the number of
points partitioning the process’s trajectory is large. We prove that all moments as
well as finite-dimensional distributions of the modeled process converge to the
corresponding characteristics of the process Y (t) . We propose a new way to
parameterize a Chentsov field on a quarter of a circle. This parameterization of
the process Y(t) is utilized to model a restriction of the Chentsov field on a part
of a circle. Also, we determine asymptotic behavior of the model error in HSP
space. We prove that the norm of the error in this space is O1 N , where N is the
number of modeled points. We verify the proposed algorithm’s correctness by
comparing obtained empirical estimates of the distribution of maximum with the
theoretical ones and show that they coincide. We obtain an empirical distribution
of maximum of the modeled process and find its best theoretical approximation,
which turns out to be the Weibull distribution. This is verified with Kolomogorov
criterion as well as Q-Q and P-P diagrams. All simulations are performed in R
statistical computing environment
Description
Keywords
Броунівський лист, поле Ченцова, випадкове поле, перколяція, гауссівський процес, розподіл максимуму, моделювання, мова R, Brownian sheеt, Chentsov field, random field, percolation, Gaussian process, distribution of the maximum, simulation, R language
Citation
Круглова Н. В. Про оцінки точності моделювання звуження броунівського листа на частину кола в просторі Hsp / Круглова Н. В., Диховичний О. О., Дем'яненко О. О. // Моделювання та інформаційні системи в економіці : зб. наук. пр. / М-во освіти і науки України, ДВНЗ «Київ. нац. екон. ун-т ім. Вадима Гетьмана» ; [редкол.: О. Є. Камінський (відп. ред.) та ін.]. – Київ : КНЕУ, 2020. – Вип. 100. – С. 123–137.